02009　抽象代数

　　一、课程性质、目的和要求

　　抽象代数即近世代数是现代数学的一个主要分支，是研讨多种代数构造的一门学科。它是现代科学各个分支的基本，而且跟着科学技术的不断提高，特殊是计算机的发铺与推广，近世代数的思惟、理论与方式的使用越来越普遍。它的思惟方式已经渗入渗出到数学的多个分支，它的结果已使用到众多学科范畴，它的内容对中学代数教授教养有指点意义。本课程是师范院校数学专业学生的必修课，也是教师本科自学考试的必考课程。近世代数的内容丰盛，在本科阶段不可能全体掌握，根据所选教科书，要求考生在学习本课程中，掌握近世代数的基本概念、基本理论和方式，使学生拓宽眼界，扩铺知识范畴，提高抽象思维才能和逻辑推理才能，提高数学涵养与技能，以便能深刻理解中学代数的内容和方式，为入一步学习其它学科发明前提。

　　课程内容包括：基本概念；群；环；整环里的因子分解。

　　二、课程内容与考察要求

　　第一章 基本概念

　　本章中介绍的部分基本概念是数学各个分支的基本，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有

　　1.聚集的概念与运算

　　2.映射的定义与几种特殊映射的性质

　　3.卡氏积与代数运算

　　4.等价关系与聚集的分类

　　考试要求：

　　掌握聚集的概念与运算，掌握聚集的交、并、聚集 的幂集 的定义及表示，纯熟掌握习题7、8的结论；理解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，纯熟掌握定理1.6及习题2、6的结论；掌握代数运算的定义与判断方式， 纯熟掌握习题2；掌握等价关系与聚集的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出聚集分类，并能精确给出商集，纯熟掌握习题5、6。

　　第二章 群

　　群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的聚集，它是近世代数中比拟古老且内容丰盛的主要分支。其主要内容有

　　1.半群的定义及性质

　　2.群的定义及等价前提

　　3.元素阶的定义及性质

　　4.轮归群的定义及构造

　　5.子群及判断前提

　　6.变换群

　　7.群的同态与同构、Cayley定理

　　8.子群的陪集、Lagrange定理

　　9.正规子群与商群、正规子群的等价前提

　　10.同态基本定理与同构定理

　　考试要求：

　　掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论；掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论； 纯熟掌握群的部分主要例子，如例1、例3、例4、例7，纯熟掌握习题2、3、6、9；掌握元素阶的定义及相关主要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，纯熟掌握例1、例2；纯熟掌握轮归群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2， 纯熟掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9；纯熟掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5； 掌握变换群的概念及有关结论，纯熟掌握 次对称群、轮归置换的概念及性质，特殊是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4；掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2；掌握子群陪集的概念及性质，纯熟掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，纯熟掌握习题2、3、 4、5；掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40， 能够精确判断子群与正规子群， 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，精确掌握商群的概念及性质（推论）；掌握并精确使用同态基本定理，纯熟掌握温习题二中的第2、4题。

　　第三章 环

　　环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个主要分支。其主要内容有

　　1. 环的定义；整环、除环、域的定义及性质

　　2. 子环及判断前提

　　3. 环的同态与同构

　　4. 幻想与商环

　　5. 素幻想与极大幻想

　　6. 商域

　　7. 多项式环

　　8. 扩域

　　9. 有限域

　　考试要求：

　　纯熟掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。纯熟掌握几个主要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，纯熟掌握习题5、9、10、11；掌握子环、子域的概念以及判断定理3.5、定理3.6，掌握例1、例4、例6， 需要注意：子环 与环 在是否可交流、有无零因子、有无单位元等性质上有绝对的联系，但是并不绝对一致；掌握环的同态与同构的定义及相关性质（定理3.10、定理3.11），会求同态象与同态核，需要注意：当 与 满同态时， 与 在是否可交流、有无零因子、有无单位元等性质上有绝对的联系，但是并不完全一致；纯熟掌握习题2、3；掌握幻想与商环的概念及相关命题（定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18）； 纯熟掌握主幻想的构造（推论1），纯熟掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7；精确使用同态基本定理及同构定理； 掌握素幻想与极大幻想的定义、判断方式及相关命题（定理3.22、定理3.23及推论），纯熟掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3；理解商域及多项式环的构造；理解域的研讨方式，掌握代数元的极小多项式的性质及求法，掌握有限扩域的概念及定理3.35.

　　第四章 整环里的因子分解

　　在整数环 中，每个不等于 的非零整数都能分解成有限个素数的乘积，而且除了因数顺序和 的因数差异外，分解是惟一的。同样，在数域 上的一元多项式环 中，每个次数 的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积，而且除了因子顺序和零次因式的差异外，分解是惟一的。在这一章里，咱们将对一般的整环讨论元素分解的理论，给出整环中因子分解惟一性定理成立的部分前提，并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有

　　1. 不可约元、素元、最大公因子

　　2. 惟一分解环

　　3. 主幻想环

　　4. 欧氏环

　　5. 惟一分解环上的一元多项式环

　　6. 因子分解与多项式的根

　　考试要求：

　　掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质，纯熟掌握例1、例2及习题2、3、4；掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质，纯熟掌握例1及习题1；纯熟掌握主幻想环的概念及主幻想环的例子，如：整数环 、域 上的一元多项式环 ，理解整数环 上的一元多项式环 不是主幻想环，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5；纯熟掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子，如：整数环 、高斯（Gauss）整数环 、域 、域 上的一元多项式环 ，掌握定理4.17、定理4.18；掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环；理解因式分解与多项式的根的概念及其性质，掌握例子及习题1、2、3.

　　三、有关说明

　　（一）教科书：

　　自学教科书：1、《近世代数》，朱平天主编，科学出版社，2001年版；2、《抽象代数基本》，李克正主编，清华大学出版社，2007年。

　　教科书1可作为应考者温习应考的主要参考教科书，教科书2可作为应考者填补和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为根据。

　　其他参考书目：

　　《近世代数基本》，张禾瑞编，人民教育出版社， 1984年版。

　　（二）自学方式的指点

　　本课程作为一门专业课程，内容抽象，综合性强，自学者在自学入程中应当注意以下几点：

　　1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基本上，体系地学习群、环、域的基本知识。因此，自学前，要注意知识的积聚与衔接。应细心阅读课程考试大纲，理解课程的性质、位置和要求，熟习掌握课程的基本内容，使以后的学习紧紧环绕课程的基本要求。

　　2.所配教科书是自学的主要根据，自学时应结合教科书及课程考试大纲和参考书目，纯熟掌握基本概念和方式的同时，能结合详细例子入行训练和使用，以到达本课程的要求。

　　（三）对社会助学的要求

　　1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要乞降各章节的知识点。

　　2.对考生入行辅导时，主要以指定的教科书为主，同时以考试大纲为根据，关注填补参考书目，注重提高学生的抽象思维才能和逻辑推理才能，增强数学涵养与技能，提高解决问题的才能。

　　（四）关于命题和考试的若干划定

　　1.本大纲各章节所提到的考察要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到各章节，恰当凸起重点章节，加大重点内容的覆盖密度。

　　2.试题难度构造合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为4：4：2.

　　3.本课程考尝尝卷可能采取的题型有：填空题、判断改错题、计算简答题、证明题（见附件题型示例）。

　　4.考试方式为闭卷笔试，考试时光为150分钟，评分采取百分制，60分为及格。

 

附录  题型举例

 

一、填空题

 

例 设是12阶轮归群，则的生成元聚集为．

 

二、判断改错题（若不精确请矫正或说明理由）

 

例 设，，则是上的代数运算．　　（ ）

 

理由： 对于不封锁．

 

三、计算简答题

 

例 找出整数环的所有素幻想和极大幻想．  

  

解：整数环的所有素幻想有：　　　　（３分）

 

因为整数环是有单位元的交流环，所以它的极大幻想都是素幻想，

 

因此，整数环的所有极大幻想有：．　　　　　   （２分）

 

四、证明题

 

例　　在整数环上的一元多项式环中，证明：不是主幻想．

 

证明：因为一元多项式环是有单位元的交流环，所以

 

 

      

 

 即  是由中常数项为偶数的多项式所组成．　　　   　(2分)

 

若是主幻想，则存在，使 

 

于是　，　．　

　　

即　　，　，　　

 

因此，由，得　．　　　　　　    　(4分)

 

再由，得

 

　．　于是　矛盾．

 

因此，　不是主幻想．　　　        　　　　　　       　(2分)

 

来源：江苏省教育考试院